Svar:
Du menar nog konisk pendel, se nedanstående figur. Vi har en vikt med massan m upphängd i en tråd med längd l. Vikten sätts i rotation så att tråden sveper ut en kon, därav namnet. För att räkna ut rotationsperioden gäller det bara att balansera krafterna.

Två krafter verkar på vikten: spänningen i tråden t och tyngdkraften mg. Dessa två krafter är inte i balans, utan det återstår en horisontell komponent av t (F_c ) riktad mot rotationscentrum. Detta är centripetalkraften som får vikten att beskriva en cirkelrörelse. Den vertikala komponenten av t skall ta ut tyngdkraften mg. Om omloppshastigheten är v är centripetalkraften

F_c = mv²/r (1)

Perioden T, som vi söker blir

T = (cirkelns omkrets)/hastigheten = 2pr/v (2)

Från jämvikt och geometri får vi:

tcos(a) = mg (3)

tsin(a) = mv²/r (4)

r = lsin(a) (5)

Eliminering av t genom division (4)/(3) ger

tan(b) = v²/r²(r/g) (6)

Insättning av värdet på v/r från (6) i (2) och användning av (5) ger slutligen efter lite förenkling:

T = 2pSqrt[(cos(a)l)/g]

Se även pendel, plan.

2005-04-07

Svar:
Johanna! Karusellen ser ut som den på bilden nedan från Chair-O-Planes.

För att sitsarna med (eller utan) passagerare skall röra sig i en cirkelbana erfordras en kraft riktad mot centrum. Denna s.k. centripetalkraft ges av

F_r = mv²/r

Om rotationshastigheten v ökar ökar radien r och vinkeln a mellan vertikalplanet och kättingen minskar för att centripetalkraften skall öka, se figuren nedan.

Det är två krafter som tillsammans orsakar nettokraften F_r (de två steckade krafterna i figuren):

1 Spänningen i upphängningskedjan F_F riktad snett uppåt i kedjans riktning.

2 Tyngdkraften F_G = mg riktad rakt nedåt.

Från triangeln med F_F och F_r får man

tan a = F_r/F_G

dvs

F_r = tanaF_G = tanamg

Men enligt ovan var ju

F_r = mv²/r

dvs

mv²/r = tanamg

eller

v² = rtanag

Vi ser för det första att sambandet inte beror av massan m.

Om avståndet från rotationscentrum till upphängningspunken är r₀ blir radien

r = r₀ + lsina

där l är kedjans längd. Vi får alltså till slut sambandet

v² = (r₀ + lsina)tanag

Vi ser att om hastigheten v ökar så måste även vinkeln a öka. Ekvationen ovan är svår att lösa exakt, men i appleten under länk 2 kan man variera parametrarna och se vad som händer.

Se Slagkraft - Naturvetenskap på Liseberg för mer om Kättingflygaren och andra Liseberg-attraktioner.

Se även Kättingflygare.

/Peter E 2009-03-09

Svar:
För en cirkulär bana med radien r är centripetalkraften
mv²/r. Om vi sätter detta lika med gravitationskraften får vi

mv²/r = GmM/r²

v² = GM/r

v = (GM/r)^1/2

Gravitationskonstanden G är 6.67410^-11 (Gravitational_constant). Övriga data från Planetary Fact Sheets:

Jordens massa: 5.973610²⁴ kg

Jordradien: 6.37110⁶ m


Hastigheten för en cirkelbana vid jordytan blir då

v = (6.67410^-115.973610²⁴/6.37110⁶)^1/2 = 7911 m/s = 7.911 km/s.

Omloppstiden blir

2pr/v = 2p6.37110⁶/7911 = 5060 s = 84.33 minuter.

Se fråga [18350] för alternativa lösningar.
/Peter E 2014-12-10